Perspektiv på matematisk modellering i Kunnskapsløftet og Fagfornyinga

Introduksjon

I Opplæringslova (1998) § 1-1 heiter det at opplæringa mellom anna skal gi elevane kunnskap, dugleik og haldningar for å kunne meistre liva sine og delta i arbeid og fellesskap i samfunnet. I tillegg skal elevane få utfalde skaparglede, engasjement, utforskartrong samt lære seg å tenkje kritisk.

I skrivande stund er det endelege utkastet til fagfornyinga av læreplanar i Kunnskapsløftet (LK20) under utarbeiding av læreplangruppa. Bakgrunnen for fagfornyinga er mellom anna at det elevane lærer skal vere relevant for å kunne henge med i den raske utviklinga som skjer i samfunnsliv, arbeidsliv og innan teknologi. I denne samanhengen blir kritisk tenking, refleksjon, utforsking og kreativitet trekt fram som viktig (Utdanningsdirektoratet, 2018). I matematikkfaget kan arbeid med matematisk modellering bidra til å utvikle desse kompetansane.

Matematisk modellering har dei siste tiåra fått større plass i læreplanen i fleire land (Blum & Pollak, 2018), også i Noreg (Erfjord, 2005). Å jobbe med modellering kan kople matematikkfaget til ikkje-matematiske situasjonar, slik at elevane tydelegare ser den praktiske nytten av å kunne matematikk. Dei får også øve opp evna til å vere kritiske til svar ein får frå matematiske modellar, og får trening i å kommunisere i og med matematikk (Blomhøj & Højgaard Jensen, 2003). Niss (1990) viser til at matematikken er viktig i kultur og samfunn, men at denne matematikken ofte er usynleg eller skjult. «Det er væsentlig for en demokratisk udvikling af samfundet, at almindelige mennesker er i stand til at omgås matematik aktivt og analyserende» (Niss, 1990, s. 67). Det er viktig, både for samfunn og individ at me kan identifisere og bruke matematikk i kvardagen.

I neste del av artikkelen går me grundigare inn på kva matematisk modellering er. Me tek føre oss grunnar for og perspektiv på arbeid med matematisk modellering. Dette nyttar me vidare til å sjå nærare på bruken av modelleringsomgrepet i Læreplanverket for Kunnskapsløftet (LK06) og i LK20. Føremålet er å kunne seie noko om korleis forståinga av modellering kjem til uttrykk i dei to læreplanane, og om vektlegginga av modellering i læreplanane. Forskingsspørsmåla er formulerte slik:

• Kor ofte er ordet modell brukt i LK06 og LK20?

• Korleis og i kva samanhengar blir modell skildra i LK06 og LK20?

Når me skriv ordet modell, omfattar det også andre former av ordet, som til dømes modellere, modellering og modellar.

Matematisk modellering

Omgrepet matematisk modellering er ikkje eintydig definert innanfor matematikkdidaktikk (Kaiser & Sriraman, 2006), og omfattar mange ulike klasseromspraksisar (Jablonka & Gellert, 2010). I forskingslitteraturen er likevel modelleringskompetanse definert som å kunne utføre alle delar av modelleringsprosessen, og å kritisk vurdere det andre har gjort (sjå til dømes Blomhøj og Højgaard Jensen, 2003, og Borromeo Ferri, 2018). Denne modelleringsprosessen er gjerne skildra ved hjelp ein figur, til dømes slik som i Figur 1.

Denne figuren med 7 steg, legg vekt på overgangane mellom matematikk og resten av verda, og motsett, ved at det er skilje mellom «mathematics» og «the rest of the world». Dei fyrste to stega er å forstå problemet, og deretter forenkle og avgjere kva ein vil ta omsyn til. Om me tenkjer oss eit konkret døme der ein skal velje telefonabonnement, vil dette vere å identifisere forbruk, til dømes den einskilde si bruk av ringetid og datatrafikk. I tillegg må ein innhente informasjon om ulike telefonabonnement. I det tredje steget matematiserer ein problemet ved å bruke matematisk språk og lage ein matematisk modell. I dømet med telefonabonnement inneber dette å setje opp prisen som ein funksjon av datatrafikk og ringetid for dei ulike abonnementa. Deretter, i steg fire og fem, finn ein ei matematisk løysing som må tolkast tilbake til situasjonen. Her kan ein til dømes lese av grafane til dei ulike funksjonane og finne det billegaste abonnementet som stettar din bruk. I steg seks vurdere om løysinga er tilfredsstillande, eller om ein må gjere endringar i dei føregåande stega, til dømes når det gjeld forbruk. I steg sju må ein forklare løysinga på problemet ved å peike på føresetnadane ein har gått ut i frå. Dette for at andre skal kunne forstå og vurdere modellen. Dette fordi føresetnader som forbruk vil variere, og det abonnementet som er billegast for ein person treng ikkje vere det for ein annan.

Utgangspunktet for modelleringsprosessen er ein reell situasjon eller eit problem frå den verkelege verda. Modellering handlar altså om å bruke matematikk for å løyse eit problem. Grunnen til at det ofte er framstilt som ein syklisk prosess er at ein heile tida må vurdere og validere resultata ein kjem fram til, og kanskje justere modellen ein har brukt. Ein går altså sjeldan gjennom modelleringssyklusen steg for steg frå 1 til 7 når ein løyser eit problem.

Matematisk modellering handlar om å bruke matematikk til å løyse verkelege problem. Ein kan såleis sjå på matematikk som eit verktøy til å betre forstå og meistre kvardagssituasjonar no og i framtida. Matematikk kan vere eit verktøy for å utvikle generell matematisk kompetanse, men er også ein viktig del av kultur og samfunn, og har verdi i seg sjølv (Niss, 1990). Desse ulike syna på matematikk kjem også fram i føremålet i læreplanen LK06:

Mennesket har til alle tider brukt og utvikla matematikk for å systematisere erfaringar, for å beskrive og forstå samanhengar i naturen og i samfunnet og for å utforske universet. Ei anna inspirasjonskjelde til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid med matematikk i seg sjølv. (Utdanningsdirektoratet, 2013)

I fylgje læreplanen har altså matematikk både praktisk nytte, men er også viktig i seg sjølv. Grunnar til å innføre matematisk modellering i læreplanar og undervising vil variere ut frå kva syn ein har på matematikk. Blum (2015, s. 81) presenterer fire ulike grunnar:

• Pragmatisk: For å kunne forstå og meistre kvardagssituasjonar, må elevane lære å omforme problem til matematikk. Dei vil ikkje kunne klare dette av seg sjølve om dei berre jobbar med matematikk utan å knyte det til kvardagssituasjonar.

• Formativ: For å kunne utvikle ulike kompetansar innanfor matematikk. Sjølvsagt modelleringskompetanse, og også til dømes argumentasjonskompetanse.

• Kulturell: Ein må sjå bruk av matematikk i samfunnet for å få eit bilete av kva matematikk som vitskap er.

• Psykologisk: Døme frå kvardagslivet kan bidra til at elevane blir interesserte i matematikk. Ein kan ved hjelp av modellering motivere eller strukturere matematisk innhald slik at elevane kan forstå det på ein betre måte.

Alle desse fire grunnane for å arbeide med modellering viser ein samanheng mellom matematikk og kvardagsliv. I modelleringsprosessen tek ein utgangspunkt i ein kvardagssituasjon, omformar denne til eit matematisk problem, løyser og tolkar den tilbake til situasjonen, slik som Figur 1 viser. Sjølv om prosessen kan sjå nokså lik ut, kan grunngjevinga for å jobbe med modellering vere ulik. Ein kan også sjå på desse grunnane som ulike mål for undervising av modellering (Blum, 2015).

Andre har sett på ulike perspektiv på modellering nettopp ut i frå målet med aktiviteten. Ein nyttar gjerne ei tredeling der ein ser på modellering som innhald, modellering som fartøy og modellering som kritikk (Barbosa, 2006; Hana, 2013; Julie, 2002). Modellering som innhald er når målet er modelleringa i seg sjølv. Målet er å utvikle modelleringskompetanse, altså å kunne løyse problem som i utgangspunktet ikkje er matematiske, ved hjelp av matematikk. Ein viktig del av modelleringsprosessen er koplinga frå kvardagslivet til matematikk, og å tolke den matematiske løysinga tilbake til konteksten. Dette svarer til dei to fyrste grunnane til Blum (2015), pragmatisk og formativ; å kunne bruke matematikk i kvardagslivet, og utvikle matematisk kompetanse. Målet med modellering som innhald er å utvikle modelleringskompetanse for å kunne bruke matematikk som ein reiskap i kvardagslivet. Dette perspektivet på modellering er tett knytt til Figur 1.

Modellering som fartøy er når modelleringsprosessen blir brukt med hovudmål om å lære noko anna enn modellering i seg sjølv. Det kan til dømes vere å få erfaringar innanfor eit matematisk tema, eller å utvikle omgrepsstrukturar mellom ulike matematiske område. Galbraith (2012) lyftar fram mangfaldet innanfor perspektivet modellering som fartøy. Det kan famne om matematikk i ein kvardagskontekst med mål om å motivere elevar, eller å gå frå ein konkret situasjon til eit generelt algebraisk uttrykk for å jobbe med abstraksjon. Dette er knytt til den psykologiske grunngjevinga til Blum (2015), om å motivere elevar og hjelpe dei til å strukturere og forstå matematisk innhald.

Innanfor perspektivet modellering som fartøy kan ein også i følgje Galbraith (2012) plassere «emergent modellering», som er sentralt innan Realistic Mathematics Education (RME). Eitt døme på dette kan vere å teikne ein figur (eller modell) til ei prosentoppgåve, eller lage ein geometrisk modell av ei algebraisk oppgåve. Her matematiserer ein altså ikkje ein kvardagssituasjon, men flyttar seg mellom ulike matematiske område, eller representerer problem på ein ny måte. I denne forståinga av modellering som fartøy er ikkje modellering direkte knytt til kvardagsmatematikk, men ein utviklar den matematiske kompetansen ved å bygge bruer mellom ulike representasjonar. Dette perspektivet er difor ikkje så tydeleg knytt til modelleringsprosessen slik han er utforma i Figur 1. Situasjonen ein går ut i frå kan allereie vere uttrykt matematisk, men ein skal representere denne situasjonen på ein annan måte. Målet er å lære, og å få betre forståing av matematikk. Det kan også knytast til den psykologiske grunngjevinga for modellering, der ein bruker modellering for å motivere til matematisk læring.

Innanfor modellering som fartøy nemner Galbraith (2012) i tillegg modellering som kurvetilpassing, det at ein nyttar regresjon til å lage ein funksjon ut frå gitte verdiar. Her blir funksjonen kalla ein matematisk modell av situasjonen. Ei slik oppgåve kan vere uttrykt i ein kvardagskontekst, men forenklingar og framgangsmåte kan vere gitt, slik at ein ikkje treng å matematisere situasjonen for å kunne løyse oppgåva. Her ser ein også at berre delar av modelleringsprosessen i Figur 1 blir nytta. Galbraith ser dette som ei avgrensa forståing av modellering, medan Borromeo Ferri (2018) meiner at å utføre regresjon ut i frå oppstilte verdiar ikkje er modellering dersom ein ikkje sjølv må forenkle og gjere avgrensingar for å kome fram til modellen. Det vil seie at dersom tala og framgangsmåten er gitt i ei matematikkoppgåve, er det i fylgje Borromeo Ferri (2018) ikkje ei modelleringsoppgåve.

Modellering som kritikk er når ein vurderer modellar ein møter i samfunnet. Dette er ein viktig del av modelleringskompetansen (Jensen, 2009). Ein ser her samanheng med den kulturelle grunngjevinga, der ein identifiserer matematikk som er brukt i samfunnet. Om ein ser dette perspektivet i samband med modelleringsprosessen i Figur 1, vil modellering som kritikk vere å vurdere andre sitt arbeid med å gjennomføre dei ulike stega framfor å utføre desse sjølv. Denne forståinga av modellering kan koplast til å lære elevane å tenke kritisk, som vist til frå opplæringslova. Under føremålet i læreplanen for matematikkfaget kan ein også sjå at dette er kompetanse som blir vektlagt: «Eit aktivt demokrati treng borgarar som kan setje seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativ informasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar» (Utdanningsdirektoratet, 2013, s. 2). Ein må setje seg inn i vurderingar som andre har gjort for å kunne forstå og kritisk vurdere matematisk modelleringsarbeid som andre har utført.

Metode

Føremålet med studien er å kunne seie noko om modellering sin plass i matematikkfaget no, og i komande læreplan. Det vart difor gjennomført ein innhaldsanalyse av læreplanane i matematikk. Eitt av forskingsspørsmåla som er stilt, søker svar på kor mange gongar ulike former for ordet modell er nemnt i læreplanen og i kva samanheng orda er brukt. Læreplandokument bør innehalde uttrykk og termar som signaliserer intensjonane for kva som skal undervisast og lærast (Frejd & Geiger, 2017). Måten lærarar, lærarutdannarar og lærebokforfattarar tolkar meininga og viktigheita av slike signalord på, vil ha innverknad på kva som blir undervist i klasserommet. Ein måte å måle viktigheita av desse orda i eit fag kan vere å sjå på frekvensen og plasseringa av orda i læreplanen.

Utgangspunktet for analysen er gjeldande læreplan i matematikk, LK06 (Utdanningsdirektoratet, 2013), og utkast til den komande læreplanen, LK20 (Utdanningsdirektoratet, 2019). Begge læreplanane er inkludert i datamaterialet, for å kunne seie noko om utviklinga og det som kjem. I LK06 gjeld planen for matematikk fellesfag for 1.-11.trinn. I LK20 har kvart av dei to faga fyrste året på vidaregåande eigne læreplanar. I LK06 har yrkesretta matematikk eigen plan, medan i LK20 er denne delt opp i dei ulike yrkesretningane og inkludert under dei ulike matematikkfaga. Grunna ulikskapane er det her valt å sjå vekk i frå yrkesfag, og berre inkludere studieretta matematikk i vidaregåande skule. Datamaterialet omfattar altså matematikkplanane for alle åra i grunnskulen og matematikkplanane som gir generell studiekompetanse i vidaregåande skule. Dette gjeld praktisk orientert matematikk (1P og 2P), teoretisk orientert matematikk (1T), matematikk for realfag (R,) og matematikk for samfunnsfag (S).

I analysen vart dei tre perspektiva på matematisk modellering, modellering som innhald, modellering som fartøy, og modellering som kritikk brukt som kategoriar. Desse vart brukt framfor grunnane til Blum (2015), sidan desse fokuserer på målet med sjølve modelleringsaktiviteten, heller enn å argumentere for arbeid med modellering. Kvart av tilfella der orda modell, modellere og modellering er brukt i læreplanane, vart plasserte i ein av desse kategoriane. Nokre stadar i læreplanane er orda nemnt utan forklarande tekst, for eksempel i ei oppramsing av arbeidsmåtar. Det vart difor laga ein fjerde kategori for uspesifisert bruk av orda. Kvar av kategoriane vart skildra basert på litteratur vist til i teoridelen. Fyrst vart delar av kodinga utført. I tilfelle der det var usemje i kodingane, vart desse diskutert av forfattarane. Kategoriane vart spesifiserte i forsøk på å gjere dei eintydige. For å vere modellering som innhald måtte anten prosessen frå kvardagslivet til matematikk vere skildra, eller det å tolke tilbake til kvardagslivet. I modellering som fartøy måtte det vere skildra minst ein av prosessane «å omforme» eller «tolke». Ein må altså gå frå eit område til eit anna. For modellering som kritikk måtte konteksten til modelleringsordet innehalde noko å vurdere. Tabell 1 syner ei skildring av kategoriane brukt i analysen. NVivo vart brukt i kodingsarbeidet, og begge forfattarane koda alt i datamaterialet parallelt. Kodingane vart samanlikna ved hjelp av verktøyet i NVivo. Det kom fram at det i gjennomsnitt er 98,3% einigheit i kodingane.

Resultat

Resultata blir presentert i tre underkategoriar. Den fyrste tek føre seg frekvensen av ordet modell i dei to læreplanane. Dei to neste tek føre seg bruken av modell i fagplanane for matematikk i høves vis LK06 og LK20.

Diskusjon

For å kategorisere dei ulike funna av ordet modell i læreplanane, brukte me ei tredeling ut i frå målet med modelleringsarbeidet (Barbosa, 2006; Julie, 2002). Det er sjølvsagt mogleg at ein aktivitet kan ha fleire mål, og at det kan vere problematisk å plassere ei matematisk oppgåve innanfor ein bestemt kategori. Men når det gjeld formuleringar i læreplanen, vil desse kategoriane vere ei hjelp til å vise kva som er meint med modellering i matematikkfaget.

Som det kjem fram av resultatdelen, er det grunn til å seie at alle dei tre perspektiva på modellering er vektlagt i læreplanen. Måla for modelleringsaktivitetar vil påverke kva oppgåvetypar ein jobbar med. Sidan dei ulike perspektiva heng tett saman, vil det vere slik at ein kan utvikle modelleringskompetanse også når ein jobbar med modellering for å til dømes lære noko om funksjonar. Likevel er det viktig å jobbe med å utvikle modelleringskompetanse ved å fokusere på kvar av delprosessane (Blomhøj & Højgaard Jensen, 2003), stega i modelleringsprosessen, i figur 1. Modellering som fartøy er kanskje enklare å gripe tak i, sidan det allereie er gitt kva ein skal modellere, og at modelleringa dermed blir ein representasjon av det gitte matematiske fenomenet. Dette perspektivet kan slik knytast til kjerneelementet representasjon og kommunikasjon. Det er difor grunn til å tru at kjerneelementet modellering og anvending fokuserer på noko anna enn arbeid med representasjonar. På den måten er modellering og anvending nærare knytt til perspektivet modellering som innhald, der bruk av matematikk og det å kunne modellere er i fokus.

I tabell 3 kjem det fram at modellering utan spesifisering er brukt mange gongar i utkastet til ny læreplan. Sidan alle tre perspektiva er representerte i læreplanen, er det difor ikkje gitt kva perspektiv som er meint i desse tilfella. Det blir då opp til kvar enkelt lærebokforfattar og lærar å skulle avgjere kva som skal blir vektlagt i modelleringsaktivitetane. Vidare kjem det også fram i tabell 3 at modellering som kritikk er meir vektlagt i utkastet til ny læreplan. Dette samsvarar med grunngjevinga for fagfornyinga, at opplæringa skal gjere elevane rusta til å henge med i utviklinga, og vere relevant for samfunnsliv, arbeidsliv og teknologi.

Modell er brukt klart fleire gonger i utkastet til den nye læreplanen LK20 i forhold til i LK06. Spesielt gjeld dette planane for 1.-11. trinn, der auken er størst. Dette kan ein forstå som at modellering blir meir vektlagt i den komande læreplanen enn det er no. Dette samsvarer også med trendar internasjonalt.

I seinare år har det internasjonalt blitt lagt meir vekt på «real world problem solving» og modellering, mellom anna gjennom omgrepet mathematical literacy i PISA-rammeverket (Galbraith, 2012). I den norske læreplanen vart dei grunnleggande ferdigheitene innført i 2006, og ein kan dra parallellar mellom den grunnleggande ferdigheita å rekne og mathematical literacy (Breakspear, 2012). Ein kan til dømes sjå samanhengar mellom dei sju stega i modelleringsprosessen i Figur 1 og dei fire ferdigheitsområda innan den grunnleggande ferdigheita å rekne. Dei tre fyrste stega «constructing», «simplifying/structuring» og «mathematise» går under ferdigheitsområdet «å gjenkjenne og beskrive (formulate)», det fjerde steget «working mathematically» er å «bruke og bearbeide (employ)», medan dei tre siste stega, «interpreting», «validating» og «exposing», går under dei to siste ferdigheitsområda, å «kommunisere og reflektere (interpret)» og «vurdere (evaluate)». Slik kan ein seie at den grunnleggane ferdigheita å rekne er delvis overlappande med modelleringskomptanse.

Sjølv om ordet modellering ikkje er brukt i skildringa av rekning i rammeverket for grunnleggande ferdigheiter (Utdanningsdirektoratet, 2012), kan ein likevel finne det under vurdering. Til dømes under måloppnåing av å gjenkjenne og beskrive, kan ein finne at ein er på nivå 5 om ein «omformer og formulerer modellen for videre arbeid». Dette kan ein forstå som ein del av ein modelleringsprosess. Dei andre stega i modelleringsprosessen er også skildra, utan at ordet modellering er nemnt.

I LK20 skal ein i tillegg til dei grunnleggande ferdigheitene innføre tverrfaglege tema og kjerneelement i kvart fag. I matematikk skal ein arbeide med det tverrfaglege temaet folkehelse og livsmeistring. Det handlar om å gi elevane kompetanse i personleg økonomi og forståing for matematiske representasjonar og modellar for å hjelpe dei til å ta ansvarlege livsval (Utdanningsdirektoratet, 2019). Dette kan ein kople til modellering som kritikk.

Eitt av kjerneelementa som skal innførast i matematikkfaget, er modellering og anvending. Her kan ein, som nemnt tidlegare, tenke seg at det er snakk om modellering som innhald, der ein skal modellere for å finne ut av noko, og for å utvikle modelleringskompetanse. «Kjerneelementa i matematikk rammar inn det viktigaste innhaldet i faget og beskriv det elevane må lære for å kunne meistre og bruke faget» (Utdanningsdirektoratet, 2019). Kjerneelementa skal ligge til grunn for djupnelæring i faget på alle klassetrinn. I LK06 var modellering eitt av fire hovudområde, men berre i faget 2P, 2.året i vidaregåande skule. Ein kan ut i frå dette også seie at modellering skal spele ei større rolle i faget etter LK20.

I nokre av tilfella der ordet modell er brukt i læreplanen, har forfattarane koda ulikt. I utarbeiding av kategoriane vart det forsøkt å gjere desse eintydige. Likevel vart altså noko koda i to kategoriar. Dette kan tyde på at det ut i frå formuleringane kan vere begge kategoriar, og at kategoriane er overlappande. At det er presisert kva målet med modellering er, kvar gong ordet er brukt, er likevel ikkje avgjerande. Det er meir problematisk at matematisk modellering ikkje er klart definert i læreplanen.

Ut frå frekvensen av ordet modell kan ein sjå at modellering har ei stor rolle i læreplanen, og det er opplagt at lærarar og lærebokforfattarar må vite kva som ligg i dette for å implementere det på ein god måte. Modellering blir i LK20 definert som «ei beskriving av verkelegheita med matematisk språk», og elevane «skal ha innsikt i korleis modellar i matematikk blir brukte for å beskrive dagleglivet, arbeidslivet og samfunnet elles». Det er ikkje nok å kommentere at ein skal jobbe med modellering, utan å forklare kva det inneber. Lærarar må ha kjennskap til kva modellering er og korleis ein skal arbeide med modellering i skulen. Dette seier ikkje læreplanen noko om. Det gjer at det kan vere utfordrande for lærarar å vite korleis dei skal arbeide med det nye kjerneelement og undervise i tråd med læreplanen.

I denne artikkelen har me avgrensa undersøkingane våre til å berre omfatte eksplisitt bruk av former for ordet modell. I vidare analysar av læreplanane ville det vore interessant å undersøke om ein kan finne grunnlag for arbeid med modellering, utan at det blir eksplisitt uttrykt. Til dømes kan ein i utkastet til LK20 under kompetansemål etter 2.trinn lese at eleven skal kunne «utforske addisjon og subtraksjon og bruke dette til å formulere og løyse problem frå leik og eigen kvardag» (Utdanningsdirektoratet, 2019). Her kan ein kjenne igjen delar frå starten av modelleringsprosessen. Når ein kjenner til dei ulike perspektiva på modellering, kan ein finne fleire døme frå læreplanen der kvar av dei tre ulike perspektiva blir jobba med. Dersom modellering ikkje blir klart definert nokon stad i læreplanen, og heller ikkje i lærebøkene, er det vanskeleg å sjå desse koplingane. Det kan difor bli mindre tydeleg kor stor rolle modellering kan ha i matematikkundervisinga.

Avslutningsvis tillét me oss å uttrykke glede over at modellering har fått ein tydelegare plass i læreplanen. Samstundes må ein vere medviten om at det er krevjande å endre undervisningspraksis. For at lærarar skal kunne undervise i tråd med det modelleringsfokuset LK20 legg opp til, må det også utviklast og tilbydast kompetansehevingstiltak på dette området. Det er også viktig at arbeid med matematisk modellering blir framheva i lærarutdanningane.